La théorie générale de l’élasticité
L’élasticité linéaire en tant que théorie générale tridimensionnelle a commencé à être développée au début des années 1820 sur la base des travaux de Cauchy. Simultanément, Navier avait développé une théorie de l’élasticité basée sur un modèle corpusculaire simple de la matière, ou particule, dans lequel les particules interagissaient avec leurs voisines par une attraction de force centrale entre des paires de particules. Comme cela a été progressivement réalisé, à la suite des travaux de Navier, Cauchy et Poisson dans les années 1820 et 30, le modèle de particules est trop simple et fait des prédictions concernant les relations entre modules élastiques qui ne sont pas satisfaites par l’expérience. La majeure partie du développement ultérieur de ce sujet était en termes de théorie du continuum. Les controverses concernant le nombre maximum possible de modules élastiques indépendants dans le solide anisotrope le plus général ont été réglées par le mathématicien britannique George Green en 1837. Green a fait remarquer que l’existence d’une énergie de contrainte élastique exigeait que des 36 constantes élastiques reliant les 6 composantes de contrainte aux 6 contraintes, au plus 21 puissent être indépendantes. Le physicien écossais Lord Kelvin a mis cette considération sur un terrain plus sain en 1855 dans le cadre de son développement de la thermodynamique macroscopique, montrant qu’une fonction d’énergie de déformation doit exister pour une réponse isotherme ou adiabatique réversible (isentropique) et établissant des résultats tels que les changements de température (très modestes) associés à la déformation élastique isentropique (voir ci-dessous Considérations thermodynamiques).
Le milieu et la fin des années 1800 ont été une période au cours de laquelle de nombreuses solutions élastiques de base ont été dérivées et appliquées à la technologie et à l’explication des phénomènes naturels. Le mathématicien français Adhémar-Jean-Claude Barré de Saint-Venant a dérivé dans les années 1850 des solutions pour la torsion des cylindres non circulaires, qui expliquaient la nécessité du déplacement de déformation de la section transversale dans la direction parallèle à l’axe de torsion, et pour la flexion des poutres due aux charges transversales; cette dernière a permis de comprendre les approximations inhérentes à la théorie des faisceaux simples de Jakob Bernoulli, Euler et Coulomb. Le physicien allemand Heinrich Rudolf Hertz a développé des solutions pour la déformation des solides élastiques lorsqu’ils sont mis en contact et les a appliquées pour modéliser les détails des collisions d’impact. Les solutions pour les contraintes et les déplacements dus aux forces concentrées agissant à un point intérieur d’un espace complet ont été dérivées par Kelvin, et celles à la surface d’un demi-espace par le mathématicien français Joseph Valentin Boussinesq et le mathématicien italien Valentino Cerruti. Le mathématicien prussien Leo August Pochhammer a analysé les vibrations d’un cylindre élastique, et Lamb et le physicien prussien Paul Jaerisch ont dérivé les équations de vibration générale d’une sphère élastique dans les années 1880, un effort qui a été poursuivi par de nombreux sismologues dans les années 1900 pour décrire les vibrations de la Terre. En 1863, Kelvin avait dérivé la forme de base de la solution des équations d’élasticité statique pour un solide sphérique, et celles-ci ont été appliquées dans les années suivantes à des problèmes tels que le calcul de la déformation de la Terre due à la rotation et au forçage des marées et la mesure des effets de la déformabilité élastique sur les mouvements de l’axe de rotation de la Terre.
Le développement classique de l’élasticité n’a jamais complètement confronté le problème de la contrainte élastique finie, dans laquelle les fibres matérielles changent de longueur autrement que de très petites quantités. C’est peut-être parce que les matériaux de construction courants ne resteraient élastiques que pour de très petites déformations avant de présenter une déformation plastique ou une rupture fragile. Cependant, les matériaux polymères naturels montrent une élasticité sur une plage beaucoup plus large (généralement avec suffisamment d’effets de temps ou de vitesse pour qu’ils soient plus précisément caractérisés comme viscoélastiques), et l’utilisation généralisée du caoutchouc naturel et de matériaux similaires a motivé le développement d’une élasticité finie. Alors que de nombreuses racines du sujet ont été posées dans la théorie classique, en particulier dans les travaux de Green, Gabrio Piola et Kirchhoff au milieu des années 1800, le développement d’une théorie viable avec des formes de relations contrainte-déformation pour des matériaux élastiques caoutchouteux spécifiques, ainsi que la compréhension des effets physiques de la non-linéarité dans des problèmes simples tels que la torsion et la flexion, a principalement été la réalisation de l’ingénieur et mathématicien appliqué d’origine britannique Ronald S. Rivlin dans les années 1940 et 50.
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